四维博客-ʩ

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一直被超越,从未被模仿。

复数的概念㈠ 作业

posted on 2020-02-10 11:36:32 | under 数学 |

一、选择题

  1. 在复平面内,给出以下四个说法:

    ①实轴上的点表示的数均为实数

    ②虚轴上的点表示的数均为纯虚数

    ③互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数

    其中说法正确的个数为 $\rm(\quad\textcolor{red}B\quad)$

    A. $1$

    B. $2$

    C. $3$

    D. $4$

  2. 在下列命题中,正确命题的个数是 $\rm(\quad\textcolor{red}A\quad)$

    ①两个复数不能比较大小

    ②复数 $z=i-1$ 对应的点在第四象限

    ③若 $(x^2-1)+(x^2+3x+2)i$ 是纯虚数,则实数 $x=±1$

    ④若 $(z_1-z_2)^2+(z_2-z_3)^2=0$ ,则 $z_1=z_2=z_3$

    A. $0$

    B. $1$

    C. $2$

    D. $3$

二、填空题

  1. 给出下列命题:

    ①若 $z∈\mathbf C$ ,则 $z^2⩾0$

    ②若 $a,b∈\mathbf R$ ,且 $a>b$ ,则 $a+i>b+i$

    ③若 $a∈\mathbf R$ ,则 $(a+1)i$ 是纯虚数

    ④若 $z=-i$ ,则 $z^3+1$ 在复平面内对应的点位于第一象限

    其中正确的命题是 $\underline{\qquad\textcolor{red}{3\;4}\qquad}$ .

三、解答题

  1. 已知复数 $Z=(m^2+5m+6)+(m^2-2m-15)i$ ,当实数 $m$ 为何值时:

    ⑴ $Z$ 为实数;

    ⑵ $Z$ 为纯虚数;

    ⑶复数 $Z$ 对应的点 $Z$ 在第四象限.

解:⑴ $m^2-2m-15=0$ ,解得 $x=-3$ 或 $x=5$ .

  ⑵ $\begin{cases}m^2+5m+6=0\\m^2-2m-15≠0\end{cases}$ ,解得 $x=-2$ .

  ⑶ $\begin{cases}m^2+5m+6>0\\m^2-2m-15<0\end{cases}$ ,解得 $-3<x<-2$ .

  1. 已知复数 $z=m(m-1)+(m^2+2m-3)i$ .

    ⑴当实数 $m$ 取什么值时,复数 $z$ 是纯虚数?

    ⑵若在复平面 $\mathbf C$ 内, $z$ 所对应的点在第四象限,求 $m$ 的取值范围.

解:⑴ $\begin{cases}m(m-1)=0\\m^2+2m-3≠0\end{cases}$ ,解得 $m=0$ .

  ⑵ $\begin{cases}m(m-1)>0\\m^2+2m-3<0\end{cases}$ ,解得 $-3<m<0$ .

  1. 若复数 $z=(m^2+m-6)+(m^2-m-2)i$ ,当实数 $m$ 为何值时:

    ⑴ $z$ 是实数;

    ⑵ $z$ 是纯虚数;

    ⑶ $z$ 对应的点在第二象限.

解:⑴ $m^2-m-2=0$ ,解得 $m=-1$ 或 $m=2$ .

  ⑵ $\begin{cases}m^2+m-6=0\\m^2-m-2≠0\end{cases}$ ,解得 $m=-3$ .

  ⑶ $\begin{cases}m^2+m-6<0\\m^2-m-2>0\end{cases}$ ,解得 $-3<m<-1$ .

  1. 已知 $m$ 为实数,设复数 $z=(m^2+5m+6)+(m^2-2m-15)i$ .

    ⑴当复数 $z$ 为纯虚数时,求 $m$ 的值;

    ⑵当复数 $z$ 对应的点在直线 $x-y+7=0$ 的下方,求 $m$ 的取值范围.

解:⑴ $\begin{cases}m^2+5m+6=0\\m^2-2m-15≠0\end{cases}$ ,解得 $m=-2$ .

  ⑵直线 $x-y+7=0$ 的下方是区域 $x-y+7>0$ . 若复数 $z$ 对应的点在区域 $x-y+7>0$ 内,则 $(m^2+5m+6)+(m^2-2m-15)+7>0$ ,解得 $m<-2$ 或 $\displaystyle m>\frac12$ .