四维博客-ʩ

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一直被超越,从未被模仿。

初升高数学摸底测试

posted on 2018-07-18 12:53:22 | under 数学 |
  1. 下列运算正确的是 $(\qquad)$

    A. $a^2\cdot a^3=a^6$

    B. $(ab)^2=a^2b^2$

    C. $(a^2)^3=a^5$

    D. $a^2+a^2=a^4$

  2. 对于实数 $x$ ,我们规定 $\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数,例如 $\lfloor1.2\rfloor=1$ , $\lfloor3\rfloor=3$ , $\lfloor-2.5\rfloor=-3$ 。若 $\displaystyle\left\lfloor\frac{x+4}{10}\right\rfloor=5$ ,则 $x$ 的取值可以是 $(\qquad)$

    A. $40$

    B. $45$

    C. $51$

    D. $56$

  3. $A$ 、 $B$ 两地相距 $160$ 千米,甲车和乙车的平均速度之比为 $4:5$ ,两车同时从 $A$ 地出发到 $B$ 地,乙车比甲车早到 $30$ 分钟。若求甲车的平均速度,设甲车平均速度为 $4x$ 千米/时,则所列方程是 $(\qquad)$

    A. $\displaystyle\frac{160}{4x}-\frac{160}{5x}=30$

    B. $\displaystyle\frac{160}{4x}-\frac{160}{5x}=\frac12$

    C. $\displaystyle\frac{160}{5x}-\frac{160}{4x}=\frac12$

    D. $\displaystyle\frac{160}{4x}+\frac{160}{5x}=30$

  4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2-(k+2)x+2k+1=0$ 的俩实数根为 $x_1^{}$ 、 $x_2^{}$ ,若 $x_1^2+x_2^2=11$ ,则实数 $k$ 的值为 $(\qquad)$

    A. $-3$

    B. $3$

    C. $±3$

    D. 无解

  5. 如图所示, $AB$ 是 $\odot O$ 的切线, $B$ 为切点, $AC$ 经过点 $O$ ,与 $\odot O$ 分别相交于点 $D$ 、 $C$ 。若 $∠ACB=30\degree$ , $AB=\sqrt3$ ,则阴影部分的面积是 $(\qquad)$

    图1

    A. $\displaystyle\frac{\sqrt3}2$

    B. $\displaystyle\fracπ6$

    C. $\displaystyle\frac{\sqrt3}2-\fracπ6$

    D. $\displaystyle\frac{\sqrt3}3-\fracπ6$

  6. 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像如图所示,反比例函数 $\displaystyle y=\frac{ac}x$ 与正比例函数 $y=bx$ 在同一坐标系内的大致图像是 $(\qquad)$

    图2

    A. 图3

    B. 图4

    C. 图5

    D. 图6

  7. 如图,已知点 $A\;(-8,0)$ 和点 $B\;(2,0)$ ,点 $C$ 在直线 $\displaystyle y=-\frac34x+4$ 上,则使 $\triangle ABC$ 是直角三角形的点 $C$ 的个数为 $(\qquad)$

    图7

    A. $1$

    B. $2$

    C. $3$

    D. $4$

    解析:

    图8

    如图,

    ① 当 $∠A$ 为直角时,过点 $A$ 作垂线与直线交于 $W\;(-8,10)$ ;

    ② 当 $∠B$ 为直角时,过点 $B$ 作垂线与直线交于 $S\;(2,2.5)$ ;

    ③ 当 $∠C$ 为直角时,则点 $C$ 在以线段 $AB$ 为直径、 $AB$ 中点 $E\;(-3,0)$ 为圆心的圆与直线 $\displaystyle y=-\frac34x+4$ 的交点上。

    过点 $E$ 作垂线与直线交于 $\displaystyle F\left(-3,\frac{25}4\right)$ ,则 $\displaystyle EF=\frac{25}4$ 。

    $∵$ 直线 $\displaystyle y=-\frac34x+4$ 与 $x$ 轴的交点 $M$ 为 $\displaystyle\left(\frac{16}3,0\right)$ ,

    $∴\displaystyle EM=\frac{25}3$ , $\displaystyle EF=\sqrt{\left(\frac{16}3+3\right)^2+\left(0-\frac{25}4\right)^2}=\frac{125}{12}$ 。

    $∵E$ 到直线 $\displaystyle y=-\frac34x+4$ 的距离 $\displaystyle d=\frac{\displaystyle\frac{25}3×\frac{25}4}{\displaystyle\frac{125}{12}}=5$ ,

    $∴$ 以线段 $AB$ 为直径、 $E\;(-3,0)$ 为圆心的圆与直线 $\displaystyle y=-\frac34x+4$ 恰好有一个交点,

    $∴$ 直线 $\displaystyle y=-\frac34x+4$ 上有一点 $C$ 满足 $∠C=90\degree$ 。

    综上所述,使 $\triangle ABC$ 是直角三角形的点 $C$ 的个数为 $3$ 。

  8. 如图, $AC=BC$ , $∠ACB=90\degree$ ,点 $D$ 在边 $BC$ 上 $($ 与 $B$ 、 $C$ 不重合 $)$ ,四边形 $ADEF$ 为正方形,过点 $F$ 作 $FG\bot AC$ ,交 $CA$ 的延长线于点 $G$ ,连接 $BF$ ,交 $DE$ 于点 $Q$ 。给出以下结论:① $AC=FG$ ;② $S_{\triangle BAF}^{}:S_{\text{\tiny矩形}BCGF}^{}=1:2$ ;③ $∠ABC=∠ABF$ ;④ $AD^2=AC\cdot FQ$ 。其中正确结论的个数是 $(\qquad)$

    图9

    A. $1$

    B. $2$

    C. $3$

    D. $4$

    解析:

    $∵$ 四边形 $ADEF$ 为正方形,

    $∴∠FAD=90\degree$ , $AD=AF=EF$ ,

    $∴∠CAD+∠FAG=90\degree$ ,

    $∵FG\bot CA$ ,

    $∴∠C=90\degree=∠ACB$ ,

    $∴∠CAD=∠AFG$ ,

    在 $\triangle FGA$ 和 $\triangle ACD$ 中, $\begin{cases}∠G=∠C\\∠AFG=∠CAD\\AF=AD\end{cases}$ ,

    $∴\triangle FGA\cong\triangle ACD\;(AAS)$ ,

    $∴AC=FG$ ,①正确;

    $∵BC=AC$ ,

    $∴FG=BC$ ,

    $∵∠ACB=90\degree$ , $FG\bot CA$ ,

    $∴FG\:\!/\!\!/\:\!BC$ ,

    $∴$ 四边形 $CBFG$ 是矩形,

    $∴∠CBF=90\degree$ , $\displaystyle S_{\triangle FAB}^{}=\frac12FB\cdot FG=\frac12S_{\text{\tiny四边形}CEFG}^{}$ ,②正确;

    $∵CA=CB$ , $∠C=∠CBF=90\degree$ ,

    $∴∠ABC=∠ABF=45\degree$ ,③正确;

    $∵∠FQE=∠DQB=∠ADC$ , $∠E=∠C=90\degree$ ,

    $∴\triangle ACD∽\triangle FEQ$ ,

    $∴AC:AD=FE:FQ$ ,

    $∴AD\cdot FE=AD^2=FQ\cdot AC$ ,④正确。

  9. 如图,抛物线 $\displaystyle y=-\frac1{12}x^2+\frac23x+\frac53$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点,与 $y$ 轴交于点 $C$ 。若点 $P$ 是线段 $AC$ 上方的抛物线上的一动点,当 $\triangle ACP$ 的面积取得最大值时,点 $P$ 的坐标是 $(\qquad)$

    图10

    A. $(4,3)$

    B. $\displaystyle\left(5,\frac{35}{12}\right)$

    C. $\displaystyle\left(4,\frac{35}{12}\right)$

    D. $(5,3)$

    解析:

    连结 $PC$ 、 $PO$ 、 $PA$ ,设点 $P$ 的坐标为 $\displaystyle\left(m,-\frac1{12}m^2+\frac23m+\frac53\right)$ 。

    图11

    令 $x=0$ ,则 $\displaystyle y=\frac53$ ,点 $C$ 的坐标为 $\displaystyle\left(0,\frac53\right)$ ,

    令 $y=0$ ,则 $\displaystyle-\frac1{12}x^2+\frac23x+\frac53=0$ ,解得 $x_1^{}=-2,\;x_2^{}=10$ ,

    $∴$ 点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$ ,点 $B$ 的坐标为 $(-2,0)$ , $\displaystyle\begin{aligned}S_{\triangle PCA}^{}&=S_{\triangle PCO}^{}+S_{\triangle POA}^{}-S_{\triangle AOC}^{}\\&=\frac12×\frac53×m+\frac12×10×\left(-\frac1{12}m^2+\frac23m+\frac53\right)-\frac12×\frac53×10\\&=-\frac5{12}(m-5)^2+\frac{125}{12}\;\footnotesize\text{,}\end{aligned}$

    $∴$ 当 $x=5$ 时, $\triangle PAC$ 面积的最大值为 $\displaystyle\frac{125}{12}$ ,此时点 $P$ 的坐标为 $\displaystyle\left(5,\frac{35}{12}\right)$ 。

  10. 已知直线 $y=-\sqrt3x+3$ 与坐标轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ,点 $P$ 在抛物线 $\displaystyle y=-\frac13\left(x-\sqrt3\right)^2+4$ 上,能使 $\triangle ABP$ 为等腰三角形的点 $P$ 的个数为 $(\qquad)$

    A. $3$

    B. $4$

    C. $5$

    D. $6$

    解析:

    以点 $B$ 为圆心、线段 $AB$ 为半径作圆,交抛物线于点 $C$ 、 $M$ 、 $N$ ,连结 $AC$ 、 $BC$ 。

    图12

    令 $y=-\sqrt3x+3$ 中的 $x=0$ ,则 $y=3$ ,

    $∴$ 点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$ ;

    令 $y=-\sqrt3x+3$ 中的 $y=0$ ,则 $x=\sqrt3$ ,

    $∴$ 点 $B$ 的坐标为 $\left(\sqrt3,0\right)$ ,

    $∴AB=2\sqrt3$ 。

    $∵$ 抛物线的对称轴为 $x=\sqrt3$ ,

    $∴$ 点 $C$ 的坐标为 $\left(2\sqrt3,3\right)$ ,

    $∴AC=2\sqrt3=AB=BC$ ,

    $∴\triangle ABC$ 是等边三角形。

    令 $\displaystyle y=-\frac13\left(x-\sqrt3\right)^2+4$ 中的 $y=0$ ,则 $\displaystyle-\frac13\left(x-\sqrt3\right)^2+4=0$ ,解得 $x_1^{}=-\sqrt3,\;x_2^{}=3\sqrt3$ ,

    $∴$ 点 $M$ 的坐标为 $\left(-\sqrt3,0\right)$ ,点 $N$ 的坐标为 $\left(3\sqrt3,0\right)$ 。

    若 $\triangle ABP$ 是等腰三角形:

    ① 当 $AB=BP$ 时,以点 $B$ 为圆心、 $AB$ 为半径作圆,与抛物线交于 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 三点;

    ② 当 $AB=AP$ 时,以点 $A$ 为圆心、 $AB$ 为半径作圆,与抛物线交于 $C$ 、 $M$ 两点;

    ③ 当 $AP=BP$ 时,作线段 $AB$ 的垂直平分线,与抛物线交于 $C$ 、 $M$ 两点;

    综上所述,能使 $\triangle ABP$ 为等腰三角形的点 $P$ 的个数为 $3$ 。